Importancia de los Logaritmos
Importancia de los Logaritmos
Logaritmos
Desde su descubrimiento, es imposible a día de hoy concebir muchos descubrimientos sin la aportación que han hecho los logaritmos. John Napier, en 1614, fue el primero en proponer este método de cálculo en su libro Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, aunque el primero en concebir el logaritmo, como concepto, fue un matemático y relojero suizo Joost Bürgi.
La importancia de los logaritmos está en que gracias a ellos, se facilita la resolución de cálculos muy complejos, lo que ha contribuido enormemente al avance de la ciencia. Si bien es cierto que son elementos de estudios fundamentales en la matemática, lo importante de los logaritmos está en las posibilidades de aplicación que tienen en la vida real.
Sin los logaritmos y su contribución, sería imposible conseguir muchísimos de los avances que hasta ahora han sido posibles. Entre los muchos avances a los que ha contribuido está el de la astronomía. También tiene múltiples aplicaciones en la geodesia, en la navegación marítima y la matemática aplicada. En la economía, los cálculos realizados con los logaritmos ayudan a conocimiento de la oferta y la demanda. En la banca, por ejemplo, ayuda al calcular el crecimiento de los depósitos. También se puede aplicar a la estadística, en la que sus cálculos ayudan a conocer el crecimiento de población.
Otra de las aplicaciones que tienen los logaritmos está en la música, cuyos pentagramas tienen relación con la escala logarítmica. La topografía es otro de los usos que tiene, ayudando a conocer la altitud de un edificio. En la biología ayuda en la realización del cálculo del pH. Y muchas más aplicaciones.
Por tanto, no sólo estamos ante una simple operación matemática, si no en una operación matemática que contribuye realmente al desarrollo económico, industrial, tecnológico, social, etc.
La importancia de los logaritmos está en que, en el siglo XVII, es posible que no tuvieran conciencia de la importancia que esta operación matemática tendría para el desarrollo en mucho de los ámbitos de un país y de la infinidad de aplicaciones que tendría. Su importancia está en la simplificación que supone para multitud de cálculos. Y ahora más simplificado con ayuda de ordenadores y calculadoras.
El mundo avanza a pasos agigantados y la tecnología va un paso por delante del ser humano. Gracias a los logaritmos estos avances son más fáciles de comprender y nos ayudan a entender todo lo que nos rodea, aunque muchos de nosotros sigamos viéndolo como algo complicado.
1- Definición de Logaritmo
Se define logaritmo como el exponente de una potencia con cierta base, es decir, el número al cual se debe elevar una base dada para obtener un resultado determinado.
Logaritmo_1.jpg (658×310)
Ejemplo
50 = 1
51 = 5
52 = 25
53 = 125, etc.
Luego, siendo la base 5, el logaritmo de 1 (que se escribe log5 1) es 0, por que 0 es el exponente al que hay que elevar la base 5 para que dé 1; el log5 5 es 1; el log5 25 es 2, el log5 125 es 3, etc.
- No existe el logaritmo de los números negativos.
- El argumento y la base de un logaritmo son números reales positivos. Además, la base no puede ser 1. Es decir, en la expresión logb a, siempre, por definición, a ∈ R+ y b ∈ R+ – {1}.
- La expresión logb a , se lee como: “logaritmo de a en base b”.
Volvamos a la definición de logaritmo: “exponente al que es necesario elevar una cantidad positiva para que resulte un número determinado”.Si lo escribiera como ecuación, corresponde a resolver logb a = x, donde b es la base del logaritmo y a es su argumento, con a y b positivos.
Ejemplo
- Calcula el valor de log7 343. Esto equivale a resolver la ecuación:
log7 343 = x
Entonces, ya que la base del logaritmo es 7, el exponente no se conoce y 343 es el argumento, es decir, el valor de la potencia, se puede escribir:
7x =343
7x = 73
luego, igualando los exponentes, se concluye que
x= 3
Luego, log7 343 = 3
Ejemplo
- Calcula el valor de log0,7 0,343. Esto equivale a resolver la ecuación:
log0,7 0,343 = x
Luego:
0,7x = 0,343
0,7x = (0,7)3
Luego, igualando exponentes tenemos:
x=3
log0,7 0,343 = 3
Para una definición más completa de logaritmos, se determinarán restricciones respecto de su base y su argumento.
2- Propiedades
2.1- Logaritmo de la unidad
El logaritmo de 1 en cualquier base es igual a 0.
logb (1) = 0 ; con b ≠ 1, b > 0
Ejemplo
log5 (1) = 0 porque 50 =1
log7 (1) = 0 porque 70 = 1
log20 (1) = 0 ⇔ 200 = 1
2.2- Logaritmos de la base
El logaritmo de la base es igual a 1.
logb (b) = 1 ; con b ≠ 1, b > 0
Ejemplo
log5 (5) = 1 ⇔ 51 = 5
log6 (6) = 1 ⇔ 61 = 6
log12 (12) = 1 ⇔ 121 = 12
2.3- Logaritmo de una potencia con igual base:
El logaritmo de una potencia de un número es igual al producto entre el exponente de la potencia y el logaritmo del número.
logb bn = n, con b ≠ 1, b > 0
Ejemplo
log6 6 3 = 3
2.4- Logaritmo de un producto
El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
logb (a • c) = logb a + logb c
Ejemplo
logb (5 • 2) = logb 5 + logb 2
2.5- Logaritmos de un cociente
El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo, menos el logaritmo del divisor.
logaritmos_cociente.jpg (485×90)
Ejemplo
Logaritmo_2.jpg (418×83)
2.6- Logaritmo de una potencia
El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base.
loga cn = n loga c
Ejemplo
log3 10 2 = 2 log3 10
2.7- Logaritmo de una raíz
El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad subradical dividido entre el índice de la raíz.
logaritmos_raiz.jpg (488×104)
Ejemplo
Logaritmo_3.jpg (488×331)
2.8- Cambio de base
logaritmos_cambio_base.jpg (545×260)
para todo p, a, b > 0; b, c ≠ 1
Ejemplo
log2 5 = log 5 / log 2
Dato Max
En relación con las propiedades de los logaritmos se debe tener presente que se cumple en general:
- logb (p · q) ≠ logb p · logb q
- logb (p + q) ≠ logb p + logb q
- logb (p – q) ≠ logb p – logb q
3- Calcula cada uno de los siguientes logaritmos
a) log2 64
b) log9 243
c) log5 1
d) log3 3
e) log5 5 7
f) log81 27
g) log128 1
h) log6 6 3
Respuestas:
a- 6
b- 5/2
c- 0
d- 1
e- 7
f- 3/4
g- 0
h-3
4- Ecuaciones logarítmicas
Se llama ecuación logarítmica a aquella cuya incógnita se encuentra en el argumento de un logaritmo. Para resolver una ecuación logarítmica se utilizan las propiedades de los logaritmos o su definición.
Para resolverlas consideraremos esencialmente cuatro aspectos:
a) Reducir las expresiones, cuando sea posible, utilizando las propiedades de logaritmos, hasta establecer una igualdad de logaritmos.
b) Si dos logaritmos de igual base son iguales, sus argumentos son iguales.
c) Utilizar la deinición de logaritmo para obtener el valor de la incógnita que se encuentra en el argumento.
d) Veriicar la solución para considerar las posibles restricciones.
4.1- Por definición
Se llega a una ecuación del tipo:
logb f(x) = c
Donde f(x) es una expresión de x, y c es un número real.
Se aplica la definición de logaritmo, para obtener:
bc=f(x)
Ejemplo
log5 5x + log5 30 = 3log5 (5x ⋅ 30) = 3 ←se aplica propiedades de logaritmosse aplica def. de logaritmo →150 x = 53 x=125150 x = 56
Ahora comprobamos el resultado remplazando el valor de x en la ecuación.
log5 (5⋅56) + log5 30= log5256 + log5(6 ⋅5)= log (52⋅6⋅56)= log5(53)= 3
4.2- Por igualación de argumentos
Se llega a una ecuación del tipo:
logb f(x)= logb g(x)
Donde f(x) y g(x) son expresiones en x.
De la ecuación se deduce que:
f(x) = g(x)
Ejemplo
Resolver la siguiente ecuación: log (4x + 6) −1= log (2x−1)
Desarrollo:
log (4x + 6)−1= log (2x−1)log (4x +6) − log 10 =log (2x −1)log (4x +610) = log (2x −1)←se aplican propiedades4x +610 =2x −14x +6 = 20x −10 16 =16x x= 1
Se comprueba el resultado reemplazando el valor de x en la ecuación, igual que en el ejemplo anterior.
1- Definición de Logaritmo
Se define logaritmo como el exponente de una potencia con cierta base, es decir, el número al cual se debe elevar una base dada para obtener un resultado determinado.
Logaritmo_1.jpg (658×310)
Ejemplo
50 = 1
51 = 5
52 = 25
53 = 125, etc.
Luego, siendo la base 5, el logaritmo de 1 (que se escribe log5 1) es 0, por que 0 es el exponente al que hay que elevar la base 5 para que dé 1; el log5 5 es 1; el log5 25 es 2, el log5 125 es 3, etc.
- No existe el logaritmo de los números negativos.
- El argumento y la base de un logaritmo son números reales positivos. Además, la base no puede ser 1. Es decir, en la expresión logb a, siempre, por definición, a ∈ R+ y b ∈ R+ – {1}.
- La expresión logb a , se lee como: “logaritmo de a en base b”.
Volvamos a la definición de logaritmo: “exponente al que es necesario elevar una cantidad positiva para que resulte un número determinado”.Si lo escribiera como ecuación, corresponde a resolver logb a = x, donde b es la base del logaritmo y a es su argumento, con a y b positivos.
Ejemplo
- Calcula el valor de log7 343. Esto equivale a resolver la ecuación:
log7 343 = x
Entonces, ya que la base del logaritmo es 7, el exponente no se conoce y 343 es el argumento, es decir, el valor de la potencia, se puede escribir:
7x =343
7x = 73
luego, igualando los exponentes, se concluye que
x= 3
Luego, log7 343 = 3
Ejemplo
- Calcula el valor de log0,7 0,343. Esto equivale a resolver la ecuación:
log0,7 0,343 = x
Luego:
0,7x = 0,343
0,7x = (0,7)3
Luego, igualando exponentes tenemos:
x=3
log0,7 0,343 = 3
Para una definición más completa de logaritmos, se determinarán restricciones respecto de su base y su argumento.
2- Propiedades
2.1- Logaritmo de la unidad
El logaritmo de 1 en cualquier base es igual a 0.
logb (1) = 0 ; con b ≠ 1, b > 0
Ejemplo
log5 (1) = 0 porque 50 =1
log7 (1) = 0 porque 70 = 1
log20 (1) = 0 ⇔ 200 = 1
2.2- Logaritmos de la base
El logaritmo de la base es igual a 1.
logb (b) = 1 ; con b ≠ 1, b > 0
Ejemplo
log5 (5) = 1 ⇔ 51 = 5
log6 (6) = 1 ⇔ 61 = 6
log12 (12) = 1 ⇔ 121 = 12
2.3- Logaritmo de una potencia con igual base:
El logaritmo de una potencia de un número es igual al producto entre el exponente de la potencia y el logaritmo del número.
logb bn = n, con b ≠ 1, b > 0
Ejemplo
log6 6 3 = 3
2.4- Logaritmo de un producto
El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
logb (a • c) = logb a + logb c
Ejemplo
logb (5 • 2) = logb 5 + logb 2
2.5- Logaritmos de un cociente
El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo, menos el logaritmo del divisor.
logaritmos_cociente.jpg (485×90)
Ejemplo
Logaritmo_2.jpg (418×83)
2.6- Logaritmo de una potencia
El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base.
loga cn = n loga c
Ejemplo
log3 10 2 = 2 log3 10
2.7- Logaritmo de una raíz
El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad subradical dividido entre el índice de la raíz.
logaritmos_raiz.jpg (488×104)
Ejemplo
Logaritmo_3.jpg (488×331)
2.8- Cambio de base
logaritmos_cambio_base.jpg (545×260)
para todo p, a, b > 0; b, c ≠ 1
Ejemplo
log2 5 = log 5 / log 2
Dato Max
En relación con las propiedades de los logaritmos se debe tener presente que se cumple en general:
- logb (p · q) ≠ logb p · logb q
- logb (p + q) ≠ logb p + logb q
- logb (p – q) ≠ logb p – logb q
3- Calcula cada uno de los siguientes logaritmos
a) log2 64
b) log9 243
c) log5 1
d) log3 3
e) log5 5 7
f) log81 27
g) log128 1
h) log6 6 3
Respuestas:
a- 6
b- 5/2
c- 0
d- 1
e- 7
f- 3/4
g- 0
h-3
4- Ecuaciones logarítmicas
Se llama ecuación logarítmica a aquella cuya incógnita se encuentra en el argumento de un logaritmo. Para resolver una ecuación logarítmica se utilizan las propiedades de los logaritmos o su definición.
Para resolverlas consideraremos esencialmente cuatro aspectos:
a) Reducir las expresiones, cuando sea posible, utilizando las propiedades de logaritmos, hasta establecer una igualdad de logaritmos.
b) Si dos logaritmos de igual base son iguales, sus argumentos son iguales.
c) Utilizar la deinición de logaritmo para obtener el valor de la incógnita que se encuentra en el argumento.
d) Veriicar la solución para considerar las posibles restricciones.
4.1- Por definición
Se llega a una ecuación del tipo:
logb f(x) = c
Donde f(x) es una expresión de x, y c es un número real.
Se aplica la definición de logaritmo, para obtener:
bc=f(x)
Ejemplo
log5 5x + log5 30 = 3log5 (5x ⋅ 30) = 3 ←se aplica propiedades de logaritmosse aplica def. de logaritmo →150 x = 53 x=125150 x = 56
Ahora comprobamos el resultado remplazando el valor de x en la ecuación.
log5 (5⋅56) + log5 30= log5256 + log5(6 ⋅5)= log (52⋅6⋅56)= log5(53)= 3
4.2- Por igualación de argumentos
Se llega a una ecuación del tipo:
logb f(x)= logb g(x)
Donde f(x) y g(x) son expresiones en x.
De la ecuación se deduce que:
f(x) = g(x)
Ejemplo
Resolver la siguiente ecuación: log (4x + 6) −1= log (2x−1)
Desarrollo:
log (4x + 6)−1= log (2x−1)log (4x +6) − log 10 =log (2x −1)log (4x +610) = log (2x −1)←se aplican propiedades4x +610 =2x −14x +6 = 20x −10 16 =16x x= 1
Se comprueba el resultado reemplazando el valor de x en la ecuación, igual que en el ejemplo anterior.
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